Matemática básica Ejemplos

$\frac{1 + i \sqrt{3}}{2 - 6 i}$

Paso 1

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{1 + i \sqrt{3}}{2 - 6 i}$ por el conjugado de $2 - 6 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{1 + i \sqrt{3}}{2 - 6 i} \cdot \frac{2 + 6 i}{2 + 6 i}$

Paso 2

Multiplica.

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Paso 2.1

Combinar.

$\frac{(1 + i \sqrt{3}) (2 + 6 i)}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Paso 2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1

Expande $(1 + i \sqrt{3}) (2 + 6 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (2 + 6 i) + i \sqrt{3} (2 + 6 i)}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Paso 2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 2 + 1 (6 i) + i \sqrt{3} (2 + 6 i)}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Paso 2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 2 + 1 (6 i) + i \sqrt{3} \cdot 2 + i \sqrt{3} (6 i)}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Paso 2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 1 (6 i) + i \sqrt{3} \cdot 2 + i \sqrt{3} (6 i)}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $6 i$ por $1$ .

$\frac{2 + 6 i + i \sqrt{3} \cdot 2 + i \sqrt{3} (6 i)}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Paso 2.2.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $i \sqrt{3}$ .

$\frac{2 + 6 i + 2 \cdot (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (6 i)}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Paso 2.2.2.4

Multiplica $i \sqrt{3} (6 i)$ .

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Paso 2.2.2.4.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 + 6 i + 2 i \sqrt{3} + \sqrt{3} (6 (i^{1} i))}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Paso 2.2.2.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 + 6 i + 2 i \sqrt{3} + \sqrt{3} (6 (i^{1} i^{1}))}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Paso 2.2.2.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 + 6 i + 2 i \sqrt{3} + \sqrt{3} (6 i^{1 + 1})}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Paso 2.2.2.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 + 6 i + 2 i \sqrt{3} + \sqrt{3} (6 i^{2})}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Paso 2.2.2.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{2 + 6 i + 2 i \sqrt{3} + \sqrt{3} (6 \cdot - 1)}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Paso 2.2.2.6

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{2 + 6 i + 2 i \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 6}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Paso 2.2.2.7

Mueve $- 6$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 + 6 i + 2 i \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Paso 2.2.3

Reordena $2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}$ y $- 6 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{(2 - 6 i) (2 + 6 i)}$

Paso 2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.3.1

Expande $(2 - 6 i) (2 + 6 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{2 (2 + 6 i) - 6 i (2 + 6 i)}$

Paso 2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 2 + 2 (6 i) - 6 i (2 + 6 i)}$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 2 + 2 (6 i) - 6 i \cdot 2 - 6 i (6 i)}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 + 2 (6 i) - 6 i \cdot 2 - 6 i (6 i)}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 + 12 i - 6 i \cdot 2 - 6 i (6 i)}$

Paso 2.3.2.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 + 12 i - 12 i - 6 i (6 i)}$

Paso 2.3.2.4

Multiplica $6$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 + 12 i - 12 i - 36 i i}$

Paso 2.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 + 12 i - 12 i - 36 (i^{1} i)}$

Paso 2.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 + 12 i - 12 i - 36 (i^{1} i^{1})}$

Paso 2.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 + 12 i - 12 i - 36 i^{1 + 1}}$

Paso 2.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 + 12 i - 12 i - 36 i^{2}}$

Paso 2.3.2.9

Resta $12 i$ de $12 i$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 + 0 - 36 i^{2}}$

Paso 2.3.2.10

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 - 36 i^{2}}$

Paso 2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 - 36 \cdot - 1}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $- 36$ por $- 1$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{4 + 36}$

Paso 2.3.4

Suma $4$ y $36$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{40}$

Paso 3

Cancela el factor común de $- 6 \sqrt{3} + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}$ y $40$ .

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $- 6 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3}) + 2 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{40}$

Paso 3.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3}) + 2 \cdot 1 + 6 i + 2 i \sqrt{3}}{40}$

Paso 3.3

Factoriza $2$ de $6 i$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3}) + 2 \cdot 1 + 2 (3 i) + 2 i \sqrt{3}}{40}$

Paso 3.4

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (3 i)$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3}) + 2 (1 + 3 i) + 2 i \sqrt{3}}{40}$

Paso 3.5

Factoriza $2$ de $2 i \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3}) + 2 (1 + 3 i) + 2 (i \sqrt{3})}{40}$

Paso 3.6

Factoriza $2$ de $2 (1 + 3 i) + 2 (i \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3}) + 2 (1 + 3 i + i \sqrt{3})}{40}$

Paso 3.7

Factoriza $2$ de $2 (- 3 \sqrt{3}) + 2 (1 + 3 i + i \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3} + 1 + 3 i + i \sqrt{3})}{40}$

Paso 3.8

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.8.1

Factoriza $2$ de $40$ .

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3} + 1 + 3 i + i \sqrt{3})}{2 (20)}$

Paso 3.8.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3} + 1 + 3 i + i \sqrt{3})}{2 \cdot 20}$

Paso 3.8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3 \sqrt{3} + 1 + 3 i + i \sqrt{3}}{20}$

Paso 4

Factoriza $- 1$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

$\frac{- (3 \sqrt{3}) + 1 + 3 i + i \sqrt{3}}{20}$

Paso 5

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (3 \sqrt{3}) - 1 (- 1) + 3 i + i \sqrt{3}}{20}$

Paso 6

Factoriza $- 1$ de $- (3 \sqrt{3}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (3 \sqrt{3} - 1) + 3 i + i \sqrt{3}}{20}$

Paso 7

Factoriza $- 1$ de $3 i$ .

$\frac{- (3 \sqrt{3} - 1) - (- 3 i) + i \sqrt{3}}{20}$

Paso 8

Factoriza $- 1$ de $- (3 \sqrt{3} - 1) - (- 3 i)$ .

$\frac{- (3 \sqrt{3} - 1 - 3 i) + i \sqrt{3}}{20}$

Paso 9

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$\frac{- (3 \sqrt{3} - 1 - 3 i) - (- i \sqrt{3})}{20}$

Paso 10

Factoriza $- 1$ de $- (3 \sqrt{3} - 1 - 3 i) - (- i \sqrt{3})$ .

$\frac{- (3 \sqrt{3} - 1 - 3 i - i \sqrt{3})}{20}$

Paso 11

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1

Reescribe $- (3 \sqrt{3} - 1 - 3 i - i \sqrt{3})$ como $- 1 (3 \sqrt{3} - 1 - 3 i - i \sqrt{3})$ .

$\frac{- 1 (3 \sqrt{3} - 1 - 3 i - i \sqrt{3})}{20}$

Paso 11.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 \sqrt{3} - 1 - 3 i - i \sqrt{3}}{20}$

Paso 12

Divide la fracción $\frac{3 \sqrt{3} - 1 - 3 i - i \sqrt{3}}{20}$ en dos fracciones.

$- (\frac{3 \sqrt{3} - 1 - 3 i}{20} + \frac{- i \sqrt{3}}{20})$

Paso 13

Divide la fracción $\frac{3 \sqrt{3} - 1 - 3 i}{20}$ en dos fracciones.

$- (\frac{3 \sqrt{3} - 1}{20} + \frac{- 3 i}{20} + \frac{- i \sqrt{3}}{20})$

Paso 14

Divide la fracción $\frac{3 \sqrt{3} - 1}{20}$ en dos fracciones.

$- (\frac{3 \sqrt{3}}{20} + \frac{- 1}{20} + \frac{- 3 i}{20} + \frac{- i \sqrt{3}}{20})$

Paso 15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- (\frac{3 \sqrt{3}}{20} - \frac{1}{20} + \frac{- 3 i}{20} + \frac{- i \sqrt{3}}{20})$

Paso 16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- (\frac{3 \sqrt{3}}{20} - \frac{1}{20} - \frac{3 i}{20} + \frac{- i \sqrt{3}}{20})$

Paso 17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- (\frac{3 \sqrt{3}}{20} - \frac{1}{20} - \frac{3 i}{20} - \frac{i \sqrt{3}}{20})$